Cara Menghitung Hasil Bagi dan Sisa Pembagian Suku Banyak

Sebelum dapat menghitung hasil bagi dan sisa pembagian pada suku banyak, kita perlu memahami mana yang dimaksud hasil bagi dan yang dimaksud sisa pembagian pada sebuah operasi pembagian.
Cermatilah uraian berikut.
Sebuah suku banyak ax3 + bx2 + cx + d dibagi oleh (x – k).
Jika dilakukan perhitungan dengan cara susun akan diperoleh sebagai berikut.

Cara membagi suku banyak dengan cara susun

  
Berdasarkan perhitungan diatas, hasil bagi pada operasi diatas adalah ax2 + (ak + b)x + (ak2 + b + c) dan sisa pembagiannya yaitu ak3 + bk2 + ck + d.

Jika persoalan diatas dikerjakan dengan cara horner maka akan diperoleh

Cara Menghitung Hasil Bagi dan Sisa Pembagian Suku Banyak dengan cara horner


ax2 + (ak + b)x + (ak2 + b + c) adalah hasil bagi dan ak3 + bk2 + ck + d adalah sisa pembagian.
Perhitungan dengan cara susun dan cara horner menghasilkan nilai yang sama. Jadi cara horner juga dapat digunakan untuk menghitung hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak.


Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk (x – k)
Suku banyak f(x) yang berderajat n  jika dibagi oleh fungsi berderajat satu akan menghasilkan hasil bagi berderajat (n – 1) dan sisa pembagian berbentuk konstanta.

Berikut ini contoh soal agar lebih memahami cara menentukan derajat hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak.
Contoh soal:
Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian dari x3 + 2x2 + 3x + 6 dibagi (x – 2)!
Jawab:
Menghitung hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak dengan cara susun

Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk (x – k) dengan cara susun


Dengan menggunakan cara susun diperoleh hasil bagi x2 + 4x + 11 dan sisa pembagiannya adalah 28.

Menghitung hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak dengan cara horner

Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk (x – k) dengan cara horner

Dengan menggunakan cara horner diperoleh hasil bagi 1x2 + 4x + 11 dan sisa pembagiannya adalah 28.
Jadi terbukti bahwa dengan cara susun dan cara horner akan menghasilkan nilai yang sama.

Berdasarkan perhitungan diatas diketahui bahwa
(x3 + 2x2 + 3x + 6) : (x – 2) = x2 + 4x + 11 dengan sisa 28.
Sehingga suku banyak f(x) dapat ditulis sebagai
x3 + 2x2 + 3x + 6 = (x – 2 ) (x2 + 4x + 11) + 28 atau
f(x) = (x – 2) × h(x) + sisa
dengan:
h(x) = x2 + 4x + 11
sisa = 28

Jika nilai x = 2 disubstitusikan pada persamaan (i), diperoleh
f(2) = (2 – 2 ) × h(2) + sisa
= 0 × h(2) + sisa
= sisa
Jadi, sisa pembagian oleh (x – 2) terhadap f(x) adalah f(2).

Dari uraian di atas, bentuk umum pembagian suku banyak dapat dinyatakan sebagai berikut.
Sisa pembagian oleh (x – k) terhadap f(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + .... + a2x2 + a1x + a0 adalah f(k)
atau secara matematis dapat dituliskan:
f(x) = (x – k).h(x) + f(k)
dengan:
f(k)= sisa

Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk (ax + b)
Perhitungan pembagian suku banyak dengan pembagi (ax + b) pada dasarnya tidak jauh berbedan dengan pembagian suku banyak dengan pembagi (x – k).
Bentuk umum pembagian suku banyak f(x) oleh (ax + b) dapat dituliskan sebagai berikut.

Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk (ax + b)

dengan:





Memang terlihat agak membingungkan, akan jadi lebih mudah ketika sudah mengerjakan contoh soalnya.
Contoh soal:
Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari 2x3 + 3x2 + 4x – 2 dibagi (2x – 1)!
Jawab:
Kita akan mengerjakan soal tersebut dengan cara horner.
Pertama tentukan faktor pengali dalam skema horner dengan cara x = -b/a.
Ingat bentuk pembagi pada soal adalah (ax+b), maka b = -1 dan a = 2.
Sehingga x = -b/a = -(-1)/2 = 1/2.
Setelah memperoleh nilai pengalinya yaitu ½, kita buat skema hornernya.

Contoh soal Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk (ax + b)

Coba perhatikan kembali bentuk umum pembagian suku banyak oleh bentuk (ax + b).
Hasil bagi = h(x)/a = (2x2 + 4x + 6)/2 = x2 + 2x +3
Sisa pembagian = 1
Jadi, hasil bagi adalah (x2 + 2x +3) dan sisa pembagian adalah 1.

Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat (ax2 + bx + c)
Pembagian suku banyak dengan ax2 + bx + c dapat dilakukan dengan cara horner jika ax2 + bx + c dapat difaktorkan, sedangkan jika ax2 + bx + c tidak dapat difaktorkan maka dapat menggunakan cara pembagian biasa.

Suatu suku banyak f(x) dibagi ax2 + bx + c yang dapat difaktorkan menjadi (ax – p1)(x – p2). Langkah-langkah pengerjaan adalah sebagai berikut.
-Pertama f(x) dibagi (ax – p1) menghasilkan

Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat

dengan:
h1(x) = h(x)/a

-kemudian h(x) dibagi (x – p2), menghasilkan
h1(x) = (x – p2) h2(x) + h1(p2).

- Substitusikan h1(x) = (x – p2) h2(x) + h1(p2) ke f(x), hasilnya


Karena (ax – p1)(ax – p2) = ax2 + bx + c, maka persamaan diatas dapat ditulis:

Cara mengerjakan Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat
Sekarang kita bahas contoh soal pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat.

Contoh soal:
Tentukanlah hasi bagi dan sisanya x3 + 2x – 3 dibagi (x2 – 1)!
Jawab:
Karena (x2 – 1) dapat difaktorkan maka pembagian tersebut dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu cara pembagian biasa(susun) dan  skema horner. Kita akan menggunakan skema horner.
Faktorkan pembaginya terlebih dahulu, (x2 – 1) dapat difaktorkan menjadi (x + 1)(x – 1).
x3 + 2x – 3 dibagi dengan (x + 1) akan menghasilkan

Contoh soal Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat

hasil di atas dibagi lagi dengan faktor yang kedua yaitu (x – 1), hasilnya

Contoh soal Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat

Sekarang perhatikan kembali bentuk umum pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat agar lebih paham mana yang hasil bagi dan sisa pembagian.
Hasil bagi = x + 0 = x
Sisa pembagian =  (ax – p1) h1(p2) + f(p1/a)
= (x+1).3 + (-6)
= 3x +3-6
= 3x – 3
 Jadi hasil bagi adalah x dan sisa pembagian adalah 3x – 3.
Previous
Next Post »