Cara Menghitung Nilai Suku Banyak dengan Metode Horner dan Subtitusi

Pengertian Suku Banyak

Suku banyak adalah suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat. Yang dimaksud derajat suatu suku banyak yang dinyatakan dalam x adalah pangkat tertinggi dari x dalam suku banyak tersebut.

Contoh:

4x³ – 2x² + 7x – 5

Pada suku banyak diatas pangkat tertinggi dari x adalah 3. Jadi suku banyak diatas adalah suku banyak berderajat 3, dengan

koefisien x³ adalah 4

koefisien x² adalah –2

koefisien x adalah 7

suku tetapnya –5.

Secara umum suku banyak dalam x berderajat n dinyatakan dengan:

dengan:

n adalah bilangan cacah

a_n, a_n_{– 1}, … , a₀ disebut koefisien-koefisien suku banyak,

a₀ disebut suku tetap dan a_n ≠ 0.

Menghitung Nilai Suku Banyak

Suku banyak dengan derajat n dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi f(x) berikut ini.

f(x) = a_nxⁿ + a_n_{– 1}xⁿ^{– 1}+ a_n_{– 2}xⁿ^{– 2}+ … + a₁x + a₀,

dengan:

n adalah bilangan cacah

an ≠ 0.

Nilai f(x) tersebut merupakan nilai suku banyak.

Untuk menentukan nilai suku banyak dapat dilakukan dengan dua cara berikut.

Ada 2 cara untuk menentukan nilai suku banyak, yaitu subtitusi dan metode horner.

Menghitung nilai suku banyak dengan cara subtitusi

Pada suku banyak f(x) = ax³ + bx² + cx + d.

Jika nilai x disubtitusikan h, maka nilai suku banyak f(x) untuk x = h adalah

f(h) = ah³ + bh² + ch + d.

Cermatilah contoh menghitung nilai suku banyak dengan cara subtitusi berikut.

Contoh:

Hitunglah nilai suku banyak f(x) = 4x³ – 2x² + 7x – 5 untuk x=2!

Jawab:

f(x) = 4x³ – 2x² + 7x – 5

f(2) = 4.2³ – 2.2² + 7.2 – 5

f(2) = 32 – 8 + 14 – 5

f(2) = 33

Jadi nilai suku banyak f(x) untuk x = 2 adalah 33.

Menghitung nilai suku banyak dengan metode horner

Misalkan suku banyak f(x) = ax³ + bx² + cx + d.

Jika akan ditentukan nilai suku banyak x = k, maka:

f(x) = ak³ + bk² + ck + d

Bentuk tersebut dapat ditulisakan dalam bentuk

f(x) = (ak² + bk + c)k + d

f(x) = ((ak + b)k + c)k + d

Sehingga f(k) = ((ak + b)k + c)k + d.

Jika kita susun skema berdasarkan bentuk diatas akan diperoleh:

Penjelasannya adalah sebagai berikut:

Tanda panah pada skema berarti mengalikan dengan k, kemudian dijumlahkan dengan koefisien yang berada di atasnya.

Jika skema diatas diuraikan maka prosesnya adalah sebagai berikut

1. a dikalikan dengan k hasilnya ak, kemudian ditambahkan dengan b sehingga hasilnya ak+b.

2. ak+b dikalikan dengan k hasilnya ak² + bk, kemudian ditambahkan dengan c maka hasilnya ak² + bk + c. Begitu seterusnya.

Sebagai catatan,

masing-masing koefisien x disusun dari pangkat terbesar sampai terkecil. Perpangkatan x yang tidak ada, koefisiennya ditulis 0.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut. Kita menggunakan soal yang sama dengan yang sebelumnya untuk membuktikan metode horner dan cara subtitusi akan menghasilkan nilai yang sama.

Contoh:

Hitunglah nilai suku banyak f(x) = 4x³ – 2x² + 7x – 5 untuk x=2 dengan metode horner!

Jawab: