Perbedaan Kaidah Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi

Cara Penghitungan Titik Sampel Dengan Kaidah Penggandaan, Permutasi, Dan Kombinasi.
Jika titik sampel dalam ruang sampel sangat besar maka kita akan kesulitan jika harus menuliskannya satu-satu. Ada beberapa kadiah dasar yang dapat digunakan dalam menentukan banyaknya titik sampel dalam ruang sampel tanpa harus menuliskan anggota ruang sampel, yaitu kaidah penggandaan, permutasi dan kombinasi. Berikut adalah cara penghitungan titik sampel dalam ruang sampel dengan kaidah penggandaan, permutasi, dan kombinasi.
1. Kaidah Penggandaan
Jika suatu operasai dapat dilakukan dalam n1 cara, jika untuk setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan dengan n2 cara, jika untuk setiap kedua cara yang pertama tersebut operasi ketiga dapat dilakukan dalam n3 cara, dan seterusnya. Banyaknya cara yang dapat dilakukan pada k operasi dalam urutan tersebut dapat dirumuskan
n1 x n2 x n3 x ... x nk

Contoh penghitungan banyak titik sampel dengan kaidah penggandaan:
Dilakukan pelemparan dua buah dadu sekaligus sebanyak sekali. Hitung berapa banyak titk sempelnya.
Jawab:
Dadu pertama dapat melakukan dalam 6 cara dan
untuk setiap keenam cara tersebut dadu kedua dapat melakukan dalam 6 cara,
maka banyaknya titik sampelnya = n1 x n2 = 6 x 6 = 36 titik sampel.

2. Permutasi
     Permutasi adalah susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan obyek. Banyaknya permutasi n obyek yang berbeda adalah n! (dibaca n faktorial). 
Faktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1 sampai dengan n.
Untuk setiap bilangan asli n, didefinisikan:
n! = 1 × 2 × 3 × ... × (n – 2) × (n – 1) × n
atau lebih sering dituliskan
n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1
contoh:
3! = 3 x 2 x 1 = 6
7! = 7 x 6 x5 x4 x3 x2x1 =5040

Berapa banyaknya permutasi terhadap 5 pilihan warna yang tersedia?
Jawab:
banyaknya permutasi terhadap 5 obyek berbeda = 5! = 5x4x3x2x1 = 120.

Permutasi pengambilan r unsur dari n unsur berbeda
Banyaknya permutasi akibat dari pengambilan r unsur dari n unsur yang berbeda dapat dirumuskan

Rumus permutasi pengambilan r unsur dari n unsur berbeda

Contoh:
Di dalam suatu kelas terdapat 10 orang yang akan dipilih 3 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Berapa banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut?
Jawab:
Posisi ketua dapat dipilih dengan 10 cara, posisi sekretaris dapat dipilih dengan 9 cara, dan posisi bendahara dapat dipilih dengan 8 cara. Jadi banyak cara yang dilakukan untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 10 orang kandidat adalah 10 × 9 × 8 = 720 cara

Atau juga dapat dihitung dengan rumus permutasi diatas
Contoh soal Permutasi pengambilan r unsur dari n unsur berbeda

Permutasi Jika Ada Unsur yang Sama
Banyaknya permutasi n unsur yang memuat k, l, dan m unsur yang sama dapat ditentukan dengan rumus:
 Rumus permutasi Jika Ada Unsur yang Sama


Contoh

Tentukan permutasi atas semua unsur yang dapat dibuat dari kata “MATEMATIKA”
Jawab:
Banyak huruf pada kata "MATEMATIKA" = 10
Huruf-huruf yang sama yaitu
banyaknya M = 2
banyaknya A = 3
banyaknya T = 2
sehingga permutasinya

Contoh soal permutasi Jika Ada Unsur yang Sama


Permutasi Siklis
Permutasi siklis adalah permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu.
     
Rumus Permutasi Siklis
                           
Contoh
Akan diadakan rapat dihadiri oleh 8 orang yang duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Berapakah susunan yang dapat terjadi?
Jawab:
P(siklis) = (7 - 1)! = 6! = 6 x 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

Kombinasi
Kombinasi merupakan Susunan yang tidak memperhatikan urutannya. Kombinasi r unsur dari n unsur ialah himpunan bagian r unsur yang dapat diambil dari n unsur yang berlainan dengan urutan penyusunan unsur tidak diperhatikan.
Jadi perbedaan antara permutasi dan kombinasi adalah bahwa dalam permutasi urutan anggota dalam setiap titik sampel diperhatikan, sedangkan dalam kombinasi tidak memperhatikan urutan anggota dalam titik sampelnya. Sehingga jumlah titik sampel dari suatu kombinasi akan lebih kecil dibandingkan titik sampel dari suatu permutasi.
Banyaknya kombinasi r unsur dari n unsur umumnya dilambangkan dengan C(n,r) = n Cr = C n,r tetapi yang paling banyak digunakan dalam konteks matematika yaitu 

Lambang kombinasi

Banyaknya kombinasi dari n unsur yang berbeda dengan setiap pengambilan dengan r unsur dirumuskan:

Rumus  Banyaknya kombinasi dari n unsur yang berbeda dengan setiap pengambilan dengan r unsur


Contoh:
Jika di dalam sebuh perkumpulan pemain bulutangkis terdapat 8 orang pemain putra dan 5 orang pemain putri. Berapakah cara penyusunan pasangan ganda untuk:
a. ganda putra
b. ganda putri
c. ganda campuran
jawab:
Cara penyusunan ganda putra dari 8 orang pemain berarti kombinasi 2 unsur dari 8 unsur berbeda, yaitu

Contoh soal kombinasi dan pembahasannya

Cara penyusunan ganda putri dari 5 orang pemain berarti kombinasi 2 unsur dari 5 unsur berbeda, yaitu

Contoh soal kombinasi dan pembahasannya 2

 Untuk ganda campuran berarti dari 8 putra diambil satu dan 5 putri diambil 1, maka banyak cara penyusunan ganda campuran adalah
Contoh soal kombinasi dan pembahasannya 3
Previous
Next Post »