Cara Menghitung Peluang Suatu Kejadian

Teori Peluang
Peluang dapat didefinisikan sebagai pernyataan numerik tentang kemungkinan dari sesuatu yang dapat terjadi. Sedangkan istilah eksperimen atau percobaan digunakan dalam statistika untuk menunjukkan sembarang proses yang dapat membangkitkan data. Percobaan yang paling sering digunakan untuk pemisalan yaitu pelemparan sebuah mata uang logam atau sebuah dadu. Ada 3 komponen yang harus dipahami dalam mempelajari teori peluang, yaitu ruang sampel, kejadian, dan peluang suatu kejadian.

1. Ruang Sampel
Ruang sampel adalah himpunan  semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan. Ruang sampel biasanya dilambangkan dengan huruf S. Anggota ruang sampel atau biasa disebut titik sampel adalah setiap kemungkinan hasil dalam suatu ruang sampel. Jika banyaknya titik sampel terhingga, maka titik-titik sampel tersebut dapat didaftarkan dalam dua kurung kurawal. Untuk titik sampel berjumlah sangat banyak atau tak hingga dapat diterangkan melalui sebuah pernyataanatau notasi pembangunan himpunan.
Contoh:
Sebuah dadu yang dilempar akan memiliki ruang sampel S = {1,2,3,4,5,6}

2. Kejadian
Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian umumnya dinotasikan dalam huruf kapital.
contoh:
sebuah dadu dilemparkan satu kali. Jika A adalah kejadian munculnya angka genap, maka anggota himpunan  A ={2,4,6} yang merupakann himpunan bagian dari ruang sampel S = {1,2,3,4,5,6}.
Hubungan antara kejadian dengan ruang sampelnya dapat digambarkan dengan diagram Venn. Ruang sampel digambarkan sebagai persegi panjang dan kejadian digambarkan sebagai lingkaran didalam persegi tersebut.

3. Peluang suatu kejadian
Seperti yang telah disebutkan sebelumnya bahwa peluang merupakan pernyataan numerik tentang kemungkinan dari suatu yang dapat terjadi. Nilai peluang berada diantara 0 dan 1. Jika peluang suatu kejadian adalah 1 berarti kejadian tersebut pasti akan terjadi, sedangkan jika peluang suatu kejadian sama adalah 0 berarti kejadian tersebut tidak mungkin terjadi.  Peluang suatu kejadian A adalah jumlah peluang semua titik sampel dalam kejadian A.
     Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi pada suatu percobaan dengan
ruang sampel S, di mana setiap titik sampelnya mempunyai kemungkinan sama untuk
muncul, maka peluang dari suatu kejadian A ditulis sebagai berikut.

Rumus menghitung peluang suatu kejadian

dengan:
P(A) = peluang kejadian A
n(A) = banyaknya anggota A
n(S) = banyaknya anggota ruang sampel S

Contoh:
Dilakukan pelemparan 2 buah uang logam sekaligus. Tentukan peluang muncul:
a. keduanya sisi angka
b. sekurang-kurangnya salah satu sisi gambar
Jawab:
Ruang sampel S = {AA, GA, AG, GG}, maka n(S) = 4
Misal D : kejadian keduanya sisi angka
D = { GG}, mak n(D) = 1
P(D) = n(D)/n(S) = ¼

Misal F: kejadian sekurang-kurangnya muncul satu sisi gambar
F = { GA, AG, GG}, maka n(F)=3
P(F)= n(F)/n(S) = ¾

Jika titik sampel dalam ruang sampel sangat besar maka kita akan kesulitan jika harus menuliskannya satu-satu. Ada beberapa kadiah dasar yang dapat digunakan dalam menentukan banyaknya titik sampel dalam ruang sampel tanpa harus menuliskan anggota ruang sampel, yaitu kaidah penggandaan, permutasi dan kombinasi. Jadi sebelum melanjutkan bahasan peluang lebih lanjut, kalian harus memahami terlebih dahulu cara penghitungan titik sampel dalam ruang sampel dengan kaidah penggandaan, permutasi, dan kombinasi.

Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Apa yang dimaksud dengan komplemen suatu kejadian?
Jika A adalah kejadian pada sebuah ruang sampel, sedangkan A’ adalah kejadian bukan A yang juga terdapat pada ruang sampel tersebut. Kejadian bukan A atau A’ dinamakan juga komplemen kejadian A. Peluang kejadian A dilambangkan dengan P(A), untuk peluang komplemen kejadian bukan A dilambangkan dengan P(bukan A) atau P(A’).
Secara matematis peluang komplemen suatu kejadian dapat dituliskan:
 Cara Menentukan Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Contoh
Pada pelemparan sebuah dadu sekali, berapakah peluang munculnya:
a. mata dadu genap,
b. mata dadu tidak genap?
Jawab:
a. Untuk menjawab permasalahan peluang munculnya mata dadu genap, pertama kita lihat
ruang sampel lebih dahulu yaitu S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, maka n(S) = 6.
Misal : A adalah kejadian keluar nomor genap yaitu A = {2, 4, 6}, maka n(A) = 3
sehingga
P(A) = n(A) / n(S) = 3/6 = ½
b. Misal : A’ adalah kejadian muncul mata dadu tidak genap (komplemen dari A).
Maka peluang muncul mata dadu tidak genap P(A’)= 1- P(A) = 1- ½ = 1/2 .

Peluang dua kejadian
Peluang kejadian A atau kejadian B dinotasikan P(AB) adalah:

Rumus umum peluang dua kejadian

Contoh:
Dilakukan pelemparan sebuah dadu, jika A adalah kejadian munculnya bilangan genap dan B adalah kejadian munculnya bilangan prima. Berapa peluang kejadian munculnya bilangan genap atau prima?
Jawab:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {2, 4, 6} P(A)= 3/6
B = {2, 3, 5} P(B) =3/6
AB = {2} P{AB} =1/6
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) =3/6 + 3/6 – 1/6 = 5/6
Jadi peluang kejadian munculnya bilangan genap atau prima adalah 5/6

Peluang dua kejadian saling asing
Dilakukan pelemparan Sebuah dadu ke atas. Misalkan, A adalah kejadian (kejadian) muncul dadu bermata ganjil dan B adalah kejadian muncul mata dadu genap. Kejadian A dan B merupakan kejadian saling asing sebab irisan dari dua kejadian tersebut adalah himpunan kosong, maka AB = 0 atau P(AB) = 0. Jadi peluang dua kejadian saling asing dapat dirumuskan:
Rumus Peluang dua kejadian saling asing

Contoh:
Sebuah kotak berisi 4 bola biru, 3 bola merah dan 3 bola hijau. Dari kotak diambil sebuah bola secara acak. Berapa peluang terambil bola biru atau merah?
Jawab:
A = Kejadian terambil bola biru
B = kejadian terambil bola merah
n(S) = 10
n(A) = 4 P(A)= 4/10
n(B) = 3 P(B) =3/10
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) = 4/10 + 3/10 – 0 = 7/10

Kejadian Saling Bebas
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika terjadinya kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya. Hal ini seperti digambarkan pada pelemparan dua buah uang logam sekaligus. apabila A1 adalah kejadian muncul permukaan angka pada pengetosan mata uang pertama maka kejadian muncul permukaan angka ataupun permukaan gambar pada mata uang kedua tidak dipengaruhi oleh A1. Begitu pula apabila G1 menyatakan kejadian muncul permukaan gambar pada mata uang pertama maka muncul permukaan gambar ataupun permukaan angka pada mata uang kedua tidak akan dipengaruhi oleh G1.

Peluang Kejadian Saling Bebas
Jika dua kejadian A dan B saling bebas stokastik maka peluang terjadinya kedua kejadian tersebut secara bersamaan, yang dinyatakan oleh P (AB ) adalah
Rumus Peluang Kejadian Saling Bebas

Contoh soal
Pada pelemparan dua buah dadu sekaligus. A adalah kejadian keluarnya dadu pertama
bermata 2 dan B adalah kejadian keluarnya dadu kedua bermata 6. Berapakah peluang terjadinya AB?
Jawab:
S =
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}  n(S) = 36
A = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)} n(A) = 6
B = {(1, 6), (2,6 ), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)} n(B) = 6
P(AB) = P(A) × P(B) = 6/36 x 6/36 = 1/6 x 1/6 = 1/36

Peluang Kejadian Bersyarat
Dua kejadian disebut kejadian bersyarat jika terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan memengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B.
Peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah diketahui adalah:

Rumus peluang kejadian bersyarat

Atau
Peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah diketahui adalah:

Rumus peluang kejadian bersyarat

Contoh
Sebuah kotak terdapat 4 bola biru dan 2 bola hijau. Jika sebuah bola diambil dalam kotak itu berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian. Tentukan peluang yang terambil kedua-duanya bola biru.
Jawab:
A = kejadian terambilnya bola biru pada pengambilan pertama
B = kejadian terambilnya bola biru pada pengambilan Kedua
P(A) = 4/6 = 2/3
Karena bola yang diambil tidak dikembalikan maka pada pengambilan kedua hanya sisa 5 bola,
P (B/A) = 3/5
P(AB) = P(A) P(B/A) = 2/3 x 3/5 = 2/5
Jadi, peluang yang terambil kedua-duanya bola biru tanpa pengembalian adalah 2/5.

Previous
Next Post »