Sifat-sifat Dasar dan Operasi Pada Logaritma dan Contohnya

Definisi Logaritma

Logaritma dituliskan sebagai “log”, didefinisikan sebagai berikut.

Misalkan a, b R, a > 0, a ≠ 1 , b > 0, dan c bilangan rasional,
alog b = c jika dan hanya jika ac = b.

Contoh:
3x = 5 x = 3log 5
5z = 8 z = 5log 8
Bilangan pokok (basis) 10 tidak ditulis, sehingga 10log a = log a.
Contoh:
103 = 1000 maka log 1000 = 3
Logaritma dengan basis e (e adalah bilangan Euler, yaitu e ≈ 2,718…,), maka elog b ditulis ln b.

Sifat-sifat Logaritma

Sifat dasar

Misalkan a dan n bilangan real, a > 0 dan a ≠ 1, maka

1. alog a = 1
    alog a = x ax = a sehingga x = 1 atau alog a = 1

2. alog 1 = 0
alog 1 = x ax = 1. Karena a0 = 1, maka x = 0

3. alog an = n
 alog an = x ax = an sehingga x = n maka alog an = n

Sifat operasi logaritma

4.  Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a ≠ 1, dan b > 0,
berlaku a log (b x c) = a log b + alog c
Pembuktian
a log b = x  b = ax
a log c = y  c = ay
Mengalikan b dengan c
b × c = ax × ay
b × c = ax+y
a log (b × c) = x + y
            Substitusi nilai x dan y
 a log (b × c ) = a log b + a log c
(terbukti)

5. Untuk a, b, dan c bilangan real dengan a > 0, a ≠ 1, dan b > 0, berlaku

Sifat-sifat logaritma

Pembuktian
a log b = x  b = ax
a log c = y  c = ay

Membagi b dengan c

Pembuktian Sifat-sifat logaritma


6.  Untuk a, b bilangan real dan n bilangan asli, a > 0, b > 0, a ≠ 1,
berlaku a log bn = n a log b
Pembuktian

Pembuktian sifat-sifat logaritma


7. Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a ≠ 1, b ≠ 1, dan c ≠ 1, berlaku

Sifat-sifat logaritma


Pembuktian
a log b = x  b = ax

Ambil sembarang c bilangan real, c > 0, dan c ≠ 1 sedemikian sehingga:

Pembuktian sifat sifat logaritma


Karena c bilangan real dan c ≠ 1 sembarang dengan ketentuan di atas dapat dipenuhi c = b sehingga diperoleh

Pembuktian sifat-sifat logaritma


8.  Untuk a, b, dan c bilangan real positif dengan a ≠ 1 dan b ≠ 1, berlaku
a log b x b log c = a log c

Pembuktian
a log b = x  b = ax
b log c = y  c = by

Pembuktian sifat-sifat logaritma


9. Untuk a dan b bilangan real positif dengan a ≠ 1, berlaku

Sifat-sifat logaritma

dengan m, n bilangan rasional dan m ≠ 0.
Pembuktian

Pembuktian sifat-sifat logaritma


10. Untuk a bilangan real positif a ≠ 1, berlaku

Sifat-sifat logaritma

Pembuktian
Misalkan
 
Pembuktian sifat-sifat logaritma


Contoh soal:
Hitunglah
1.  6 log 1

Jawab:
6 log 1 = 0


 Contoh soal logaritma dan penyelesaiannya nomor 1

3. 32 log 8
Jawab:
 Contoh soal logaritma dan penyelesaiannya nomor 3
4. 3 log 54 –  3 log 2 
Jawab:
 Contoh soal logaritma dan penyelesaiannya nomor 4

5. Sederhanakanlah log 64 log 128 + log 32
Jawab:
log 64 log 128 + log 32
= log 26 log 27 + log 25
= 6 log 27 log 2+ 5 log 2
= 4 log 2

Nyatakan dalam a, b, c. (a = log 2, b= log 3, c = log 5)
6.  log 30
Jawab:
log 30
= log (2 x 15)
= log ( 2 x 3 x 5)
= log 2 + log 3 + log 5
= a + b +c

7. log 900
Jawab:
log 900
= log ( 2 x 450)
= log ( 2 x 2 x 225)
= log ( 2 x 2 x 3 x 75)
= log (2 x 2 x 3 x 3 x 25)
= log (2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5)
= log (22 x 32 x 52)
= log 22 + log 32 + log 52
= 2 log 2 + 2 log 3 + 2 log 5
= 2a + 2b + 2c
Previous
Next Post »