Perbedaan Barisan dan Deret Aritmetika dengan Geometri

1. Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang beda setiap dua suku yang berurutan adalah sama. Beda dinotasikan “b” memenuhi pola berikut.
b = u2 u1= u3 u2= u4u3 = ... = un u(n–1)
Dengan:
n adalah bilangan asli sebagai nomor suku,
un adalah suku ke-n.

Berdasarkan definisi di atas diperoleh bentuk umum barisan aritmetika sebagai berikut.
Perbedaan Barisan dan Deret Aritmetika dengan Geometri


Rumus suku ke-n baris aritmetika
Setiap dua suku yang berurutan pada barisan aritmetika memiliki beda yang sama, maka diperoleh
u1 = a
u2 = u1 + 1.b
u3 = u2 + b = u1 + 2.b
u4 = u3 + b = u1 + 3.b
u5 = u4 + b = u1 + 4.b
un = u1 + (n – 1)b

Jadi jika u1, u2, u3, u4, u5, …, un merupakan suku-suku barisan aritmetika, rumus suku ke-n barisan tersebut dinyatakan sebagai berikut.
Perbedaan Barisan dan Deret Aritmetika

dengan:
a = u1 adalah suku pertama barisan aritmetika,
b = beda barisan aritmetika

Contoh soal tentang baris aritmetika dan penyelesaiannya
1. Tentukan suku ke-7 barisan di bawah ini!
1,  4, 7, 10,...
Jawab:
Dari barisan bilangan diatas, diketahui bahwa
u1 = a = 1,
u2 = 4,
u3 = 7, ….
b = u2 – u1 = u3– u2 = 3.
Karena un = a + (n – 1)b, maka
u7 = a + (n – 1)b.
u7 = 1 + (7 – 1)3
u7 = 1 + 18
u7 = 19

2. Suku ke-3 barisan aritmetika adalah 15 dan suku ke-8 adalah 45. Tentukan suku ke-21.
Jawab:
Berikut ini salah satu cara dalam menyelesaikan soal barisan aritmetika.
Pertama mencari nilai beda dengan eliminasi suku- suku yang diketahui
Ingat bahwa un = a + (n – 1)b, maka:

Perbedaan barisan aritmetika dan geometri

Untuk mencari nilai a, subtitusikan nilai b ke suku ke-3 atau ke-8. Berikut dicontohkan dengan subtitusi pada suku ke-3
u3 = a + 2b
15 = a + 2.6
15 = a + 12
a = 15 -12
a = 3

Setelah beda dan suku pertama telah diketahui sekarang kita dapat mencari suku ke-n
un = a + (n – 1)
u21 = 3 + (21-1)6
u21 = 3 +(20)6
u21 = 3 + 120
u21 = 123
Jadi suku ke-21 adalah 123

Deret Aritmetika
Deret aritmetika dapat diartikan sebagai penjumlahan semua suku barisan aritmetika secara berurutan.
Contoh deret aritmetika
1 + 4 + 7 + 10 + ...

Cara menghitung jumlah n suku pertama
Untuk menentukan jumlah n suku pertama, ditentukan rumus berikut:
sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + (a + (n – 1)b)..............(1)

Persamaan 1) juga dapat dituliskan
sn = (a + (n – 1)b) + … + (a + 2b) + (a + b) + a.............(2)

Dengan menjumlahkan kedua persamaan diatas, diperoleh:

Perbedaan deret aritmetika dan deret geometri












Jadi rumus jumlah n suku pertama barisan aritmetika adalah
Perbedaan barisan aritmetika dan deret aritmetika


Contoh:
Diketahui a adalah bilangan bulat positif, tentukan nilai a jika a memenuhi
a + (a + 2) + (a + 4) + ... + 100 = 2548.

Penyelesaian:
Suku ke-n barisan bilangan di atas adalah 100, sehingga
un = a + (n – 1)b
100 = a + (n – 1)2
100 = a + 2n -2
a = 102 – 2n.
Jumlah n suku pertama adalah 2548 sehingga
sn = n/2(2a + (n – 1)b)
2548 = n/2(2a + (n – 1)2)
5096 = n (2a + (n-1))
Dengan mensubtitusikan a = 102 – 2n, diperoleh n2 – 101n + 2548 = 0.
Ingat kembali cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat.
n2 – 101n + 2278 = 0
 (n – 52).(n – 49) = 0.
diperoleh, n = 52 atau n = 49.  Subtitusikan nilai n ke persamaan a = 102 – 2n.
n = 52 maka a = -2
n = 49 maka a = 4
Karena diketahui nilai a bilangan bulat positif maka nilai yang memenuhi adalah n = 49 dengan nilai a = 4.

2. Barisan dan Deret Geometri
Barisan Geometri
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Rasio, dinotasikan r merupakan nilai perbandingan dua suku berurutan. Nilai rasio dinyatakan:

Perbedaan barisan aritmetika dan barisan geometri


Rumus suku ke-n barisan geometri
Jika u1, u2 , u3, …, un  merupakan susunan suku-suku barisan geometri, maka rumus suku ke-n adalah
Perbedaan barisan geometri dan deret geometri

dengan:
u1 = a
r = rasio,
n = bilangan asli.

Contoh soal barisan geometri dan penyelesaiannya
Tentukanlah rumus suku ke-n dan suku ke-7 dari barisan 27, 9, 3, 1, ...
Rasio dua suku berurutan pada barisan 27, 9, 3, 1, . . . adalah tetap, yaitu r = 1/3 sehingga barisan bilangan tersebut merupakan barisan geometri.
Rumus suku ke-n barisan geometri tersebut adalah

Perbedaan barisan aritmetika dan barisan geometri


Suku ke-7 barisan geometri tersebut adalah

Perbedaan barisan geometri dan deret geometri

Deret geometri
Rumus umum deret geometri
Perbedaan deret aritmetika dan deret geometri

dengan:
u1 = a
r = rasio.

Sifat-sifat deret geometri
Berikut sifat-sifat deret geometri berdasarkan nilai rasio (r) deret tersebut.
Jika suatu deret geometri suku pertama adalah u1 = a, dan rasio = r, maka jumlah n suku pertama adalah

Perbedaan barisan dan deret geometri

Pembuktian

Perbedaan baris dan deret geometri

Perbedaan deret aritmetika dan deret geometri

Perbedaan deret aritmetika dengan geometri


Contoh soal deret geometri dan penyelesaiannya:
Suatu deret geometri mempunyai suku ke-3 sama dengan 16 dan
suku ke-6 sama dengan 128 . Tentukanlah jumlah n suku pertama
dan jumlah 10 suku pertama deret geometri tersebut!
Penyelesaian:
u3 = 16 , maka ar2 = 16
u6 = 128, maka ar5 = 128
u6 = u3.r3
128 = 16.r3
8 = r3
r = 2

Dengan mensubstitusi r = 2 ke persamaan ar2 = 16,
didapatkan
a.22 = 16
4a = 16
a = 4.

perbedaan deret aritmatika dan geometri
Pembahasan soal matematika tentang deret geometri







Deret Geometri Tak Terhingga
Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan |r| < 1.
Jumlah S dari deret geometri tak hingga adalah

jumlah s pada deret geometri tak hingga


Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga.
Untuk n tak terhingga terdapat dua kasus, yaitu:
 Kasus 1
Jika -1 < r <  1, maka rn menuju 0.
Sehingga,

cara menentukan nilai suku pertama dan rasio pada deret geometri tak hingga


Deret geometri dengan -1 < r <  1 ini disebut deret geometri konvergen (memusat).

Kasus 2
Jika r < -1 atau r > 1, maka untuk n ¥ nilai rn makin besar.
Untuk r < -1, n ¥ dengan n ganjil didapat rn ¥
Untuk r < -1, n ¥ dengan n genap didapat rn ¥
Untuk r > 1, n ¥ didapat rn ¥
Sehingga

perbedaan deret aritmatika dan deret geometri

Deret geometri dengan r < -1 atau r > 1 ini disebut deret geometri divergen (memencar).
Previous
Next Post »