Rumus Lengkap Trigonometri Disertai dengan Contohnya

1. Ukuran Sudut (Derajat dan Radian)

Ada dua ukuran yang umum digunakan untuk menentukan besar suatu sudut, yaitu derajat dan radian. 1^O didefinisikan sebagai besar sudut yang dibentuk oleh 1/360 putaran penuh atau jika diartikan sebaliknya maka 1 putaran penuh = 360 derajat. Satu radian diartikan sebagai ukuran sudut pusat a suatu lingkaran yang panjang busurnya sama dengan jari-jari.

Hubungan derajat dan radian adalah sebagai berikut:

Contoh:

2. Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-Siku

Sinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut dengan sisi miring,

Cosinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi disamping sudut dengan sisi miring

Tangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut dengan sisi di samping sudut,

Cosecan suatu sudut didefinisikan sebagai panjang sisi miring dengan sisi di depan sudut,

Secan suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miring dengan sisi di samping sudut

Cotangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan sisi di samping sudut dengan sisi di depan sudut

3. Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran

Nilai perbandingan trigonometri di setiap kuadran, yaitu:

a. Jika di kuadran I, maka nilai sinus, cosinus, dan tangen bertanda positif.

b. Jika di kuadran II, maka nilai sinus bertanda positif dan nilai cosinus dan tangen bertanda negatif.

 c. Jika di kuadran III, maka nilai tangen bertanda positif dan nilai sinus dan cosinus bertanda negatif.

d. Jika di kuadran IV, maka nilai cosinus bertanda positif dan nilai sinus dan tangen bertanda negatif.

4. Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Istimewa

Sudut istemewa dalam trigonometri artinya sudut-sudut yang nilai perbandingan trigonometri dapat ditentukan secara eksak. Sudut istimewa di kuadran I contohnya 30° dan 45°.

Berikut ini nilai perbandingan trigonometri untuk semua sudut-sudut istimewa.

5. Penggunaan Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut:

a. Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Rumus cosinus jumlah dua sudut:

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

Rumus cosinus selisih dua sudut:

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

b. Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Rumus sinus jumlah dua sudut:

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

Rumus sinus selisih dua sudut:

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

c. Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut

 

Contoh:

1.Hitunglah sin 15^O !

Jawab:

 

2.Hitunglah Tan 105^O !

Jawab:

 

3. Jika Sin a = 4/5 dan cos b = 7/25 dengan 0 ≤ a ≤p/2 dan 0 ≤ a ≤p/2, tentukan nilai sin (a+b) dan cos (a-b)

Jawab:

 

Sin a = 4/5, maka cos a = 3/5

Cos b = 7/25 , maka sin b = 24/25

Sehingga:

  

6. Penggunaan Rumus Sinus, Cosinus, dan Tangen Sudut Ganda

a. Menggunakan Rumus Sinus Sudut Ganda

Berdasarkan rumus sin (A + B), untuk A = B maka diperoleh:

sin 2A = sin (A + A)

= sin A cos A + cos A sin A

= 2 sin A cos A

b. Rumus Cosinus Sudut Ganda

Dengan menggunakan rumus cos (A + B), untuk A = B maka diperoleh:

cos 2A = cos (A + A)

= cos A cos A – sin A sin A

= cos² A – sin² A

Ingat bahwa sin² A + cos² A = 1

Maka cos 2A dapat dituliskan

cos 2A = cos² A – sin² A

= cos² A – (1 – cos² A)

= cos² A – 1 + cos² A

= 2 cos² A – 1

Atau

cos 2A = cos² A – sin² A

= (1 – sin² A) – sin² A

= 1 – 2 sin² A

Sehingga rumus cosinus untuk sudut ganda yaitu

cos 2A = cos² A – sin² A

cos 2A = 2 cos² A – 1

cos 2A = 1 – 2 sin² A

c. Rumus Tangen Sudut Ganda

Rumus sudut ganda untuk tangen yaitu:

 

Contoh:

Hitunglah nilai sin 120 ^o !

Jawab:

sin120^o

= sin 2(60^o )

= 2sin 30^o cos30^o

= 2 x ½ x ½Ö3

= ½ Ö3

d. Rumus Trigonometri untuk sin ½ A, cos ½ A, dan tan ½ A

7. Perkalian Sinus dan Cosinus dalam Jumlah atau Selisih Sinus atau Cosinus

b. Perkalian Sinus dan Sinus

Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikut:

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Jika ruas yang bersesuaian kita kurangkan maka akan diperoleh

cos (A + B) – cos (A –B) = –2 sin A sin B

atau juga dapat dituliskan:

2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B)

a. Perkalian Cosinus dan Cosinus

Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikut

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Jika ruas yang bersesuaian kita jumlahkan maka akan diperoleh

cos (A + B) + cos (A – B) = 2 cos A cos B

atau

 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

c. Perkalian Sinus dan Cosinus

Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikut.

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

Jika ruas yang bersesuaian kita jumlahkan maka akan diperoleh

sin (A + B) + sin (A – B) = 2 sin A cos B

 atau

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)

Sedangkan jika ruas yang bersesuaian kita kurangkan maka akan diperoleh

2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)

Contoh:

Sederhanakanlah sin 105° cos 15°!

Jawab:

sin 105° cos 15°

= ½  {sin (105 + 15)° + sin (105 – 15)° }

= ½  (sin 120° + sin 90)°

= ½ ( ½Ö3 + 1)

= ¼Ö3 + ½

8. Rumus penjumlahan dan pengurangan Sinus, Cosinus, dan Tangen

a. Rumus penjumlahan dan pengurangan sinus:

b. Rumus penjumlahan dan pengurangan cosinus:

c. Rumus penjumlahan dan pengurangan tangen:

Contoh soal:

Hitunglah nilai dari sin 75^o + sin15^o!

Jawab:

Sin 75^o + sin 15^o

= 2 sin ½ (75^o + 15^o) cos ½ (75 ^o -15^o)

= 2 sin 45 ^o cos 30o ^o

= 2 x ½Ö2 x ½Ö3

= ½Ö6

Hitunglah nilai dari cos 75 ^o – cos 15 ^o!

Jawab:

Cos 75 ^o – cos 15 ^o

= -2 sin ½ (75 ^o + 15 ^o ) sin ½ (75 ^o - 15 ^o)

= -2 sin 45 ^o sin 30 ^o

= -2 x ½Ö2

9. Contoh cara membuktikan identitas trigonometri

 

Jawab:

 
 

• Twitter
• Facebook
• Google
• Tumblr
• Pinterest