Rumus Lengkap Trigonometri Disertai dengan Contohnya


1. Ukuran Sudut (Derajat dan Radian)
Ada dua ukuran yang umum digunakan untuk menentukan besar suatu sudut, yaitu derajat dan radian. 1O didefinisikan sebagai besar sudut yang dibentuk oleh 1/360 putaran penuh atau jika diartikan sebaliknya maka 1 putaran penuh = 360 derajat. Satu radian diartikan sebagai ukuran sudut pusat a suatu lingkaran yang panjang busurnya sama dengan jari-jari.
Hubungan derajat dan radian adalah sebagai berikut:

Rumus-rumus trigonometri

Contoh:




2. Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-Siku


Sinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut dengan sisi miring,
rumus-rumus trigonometri

Cosinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi disamping sudut dengan sisi miring

Tangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut dengan sisi di samping sudut,
niliai tangen suatu sudut

Cosecan suatu sudut didefinisikan sebagai panjang sisi miring dengan sisi di depan sudut,
Cosecan suatu sudut

Secan suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miring dengan sisi di samping sudut
nilai secan suatu sudut

Cotangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan sisi di samping sudut dengan sisi di depan sudut

nilai cotangen suatu sudut


3. Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran

Rumus-rumus trigonometri

Nilai perbandingan trigonometri di setiap kuadran, yaitu:
a. Jika di kuadran I, maka nilai sinus, cosinus, dan tangen bertanda positif.
b. Jika di kuadran II, maka nilai sinus bertanda positif dan nilai cosinus dan tangen bertanda negatif.
 c. Jika di kuadran III, maka nilai tangen bertanda positif dan nilai sinus dan cosinus bertanda negatif.
d. Jika di kuadran IV, maka nilai cosinus bertanda positif dan nilai sinus dan tangen bertanda negatif.


4. Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Istimewa
Sudut istemewa dalam trigonometri artinya sudut-sudut yang nilai perbandingan trigonometri dapat ditentukan secara eksak. Sudut istimewa di kuadran I contohnya 30° dan 45°.
Berikut ini nilai perbandingan trigonometri untuk semua sudut-sudut istimewa.

ilai perbandingan trigonometri untuk semua sudut-sudut istimewa

ilai perbandingan trigonometri untuk semua sudut-sudut istimewa


5. Penggunaan Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut:
a. Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Rumus cosinus jumlah dua sudut:
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
Rumus cosinus selisih dua sudut:
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

b. Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Rumus sinus jumlah dua sudut:
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
Rumus sinus selisih dua sudut:
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

c. Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut
 Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Contoh:
1.Hitunglah sin 15O !
Jawab:
 contoh soal dan pembahasan tentang trigonometri

2.Hitunglah Tan 105O !
Jawab:
 contoh soal dan pembahasan tentang trigonometri

3. Jika Sin a = 4/5 dan cos b = 7/25 dengan 0 ≤ a ≤p/2 dan 0 ≤ a ≤p/2, tentukan nilai sin (a+b) dan cos (a-b)
Jawab:
 contoh soal dan pembahasan tentang trigonometri
Sin a = 4/5, maka cos a = 3/5
Cos b = 7/25 , maka sin b = 24/25
Sehingga:

  contoh soal dan pembahasan tentang trigonometri


6. Penggunaan Rumus Sinus, Cosinus, dan Tangen Sudut Ganda
a. Menggunakan Rumus Sinus Sudut Ganda
Berdasarkan rumus sin (A + B), untuk A = B maka diperoleh:
sin 2A = sin (A + A)
= sin A cos A + cos A sin A
= 2 sin A cos A

b. Rumus Cosinus Sudut Ganda
Dengan menggunakan rumus cos (A + B), untuk A = B maka diperoleh:
cos 2A = cos (A + A)
= cos A cos A – sin A sin A
= cos2 A – sin2 A

Ingat bahwa sin2 A + cos2 A = 1
Maka cos 2A dapat dituliskan
cos 2A = cos2 A – sin2 A
= cos2 A – (1 – cos2 A)
= cos2 A – 1 + cos2 A
= 2 cos2 A – 1

Atau
cos 2A = cos2 A – sin2 A
= (1 – sin2 A) – sin2 A
= 1 – 2 sin2 A

Sehingga rumus cosinus untuk sudut ganda yaitu
cos 2A = cos2 A – sin2 A
cos 2A = 2 cos2 A – 1
cos 2A = 1 – 2 sin2 A

c. Rumus Tangen Sudut Ganda
Rumus sudut ganda untuk tangen yaitu:
 rumus-rumus trigonometri
Contoh:
Hitunglah nilai sin 120 o !
Jawab:
sin120o
= sin 2(60o )
= 2sin 30o cos30o
= 2 x ½ x ½Ö3
= ½ Ö3

d. Rumus Trigonometri untuk sin ½ A, cos ½ A, dan tan ½ A

rumus-rumus trigonometri


7. Perkalian Sinus dan Cosinus dalam Jumlah atau Selisih Sinus atau Cosinus
b. Perkalian Sinus dan Sinus
Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikut:
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Jika ruas yang bersesuaian kita kurangkan maka akan diperoleh
cos (A + B) – cos (A –B) = –2 sin A sin B
atau juga dapat dituliskan:
2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B)

a. Perkalian Cosinus dan Cosinus
Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikut
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
Jika ruas yang bersesuaian kita jumlahkan maka akan diperoleh
cos (A + B) + cos (A – B) = 2 cos A cos B
atau
 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

c. Perkalian Sinus dan Cosinus
Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikut.
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
Jika ruas yang bersesuaian kita jumlahkan maka akan diperoleh
sin (A + B) + sin (A – B) = 2 sin A cos B
 atau
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)

Sedangkan jika ruas yang bersesuaian kita kurangkan maka akan diperoleh
2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)

Contoh:
Sederhanakanlah sin 105° cos 15°!
Jawab:
sin 105° cos 15°
= ½  {sin (105 + 15)° + sin (105 – 15)° }
= ½  (sin 120° + sin 90)°
= ½ ( ½Ö3 + 1)
= ¼Ö3 + ½

8. Rumus penjumlahan dan pengurangan Sinus, Cosinus, dan Tangen
a. Rumus penjumlahan dan pengurangan sinus:

rumus-rumus trigonometri

b. Rumus penjumlahan dan pengurangan cosinus:

rumus-rumus trigonometri


c. Rumus penjumlahan dan pengurangan tangen:

rumus-rumus trigonometri

Contoh soal:
Hitunglah nilai dari sin 75o + sin15o!
Jawab:
Sin 75o + sin 15o
= 2 sin ½ (75o + 15o) cos ½ (75 o -15o)
= 2 sin 45 o cos 30o o
= 2 x ½Ö2 x ½Ö3
= ½Ö6

Hitunglah nilai dari cos 75 o – cos 15 o!
Jawab:
Cos 75 o – cos 15 o
= -2 sin ½ (75 o + 15 o ) sin ½ (75 o - 15 o)
= -2 sin 45 o sin 30 o
= -2 x ½Ö2

9. Contoh cara membuktikan identitas trigonometri
 Contoh cara membuktikan identitas trigonometri
Jawab:
 Contoh cara membuktikan identitas trigonometri
 Contoh cara membuktikan identitas trigonometri
Previous
Next Post »