Vektor Satuan dan Perkalian Vektor

Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai besar/nilai 1, dan tidak memiliki satuan. Penjumlahan dalam  vektor sering kali dinyatakan dalam sebuah vektor satuan. Vektor satuan digunakan semata-mata hanya  untuk menunjukkan arah. Simbol dari vektor satuan adalah 
Simbol vektor satuan
yang menunjukan arah positif sumbu x, sumbu y, sumbu z(vektor biasanya dituliskan dengan tanda 'topi' atau hat). Dalam sistem koordinat, Ketiga vektor satuan tersebut saling tegak lurus satu sama lain. Seperti yang ditunjukkan gambar berikut:

Ilustrasi proyeksi vektor satuan

Nilai atau besar setiap vektor  satuan sama dengan 1, atau dapat dituliskan nilai mutlak
Nilai vektor satuan
 = 1. Sehingga vektor satuan i memiliki besar 1 dan arahnya sejajar dengan sumbu x positif, vektor satuan j  memiliki besar 1 dan arahnya sejajar terhadap sumbu y positif, dan besar vektor satuan i adalah 1 dan arahnya sejajar terhadap sumbu z positif.


Misalkan ada sebuah vektor F yang terletak pada ruang, 
ilustrasi vektor satuan

kemudian diproyeksikan menjadi komponen vektor Fx, Fy, dan Fz. Maka Vektor F  dapat dinyatakan dalam penjumlahan dari tiga buah vektor  yaitu:

Vektor yang diproyeksikan menjadi Komponen-komponennya

Besar vektor F dapat dihitung dengan cara menentukan komponen-komponen vektor yang saling tegak lurus satu sama lain melalui persamaan berikut ini

Mencari besar vektor jika diketahui komponen-komponennya

Dua buah vektor sama jika besar komponen-komponennya juga sama. sebagai contohnya
contoh dua buah vektor yang sama

Besar resultan Vektor tersebut dapat dinyatakan dengan aturan berikut ini:

Besar resultan penjumlahan vektor

Besar resultan vektor satuan

Sedangan besar resultan pengurangan vektor adalah sebagai berikut:

besar resultan vektor satuan

Perkalian Vektor

Selain operasi penjumlahan dan pengurangan  vektor, operasi perkalian juga dapat diterapkan pada vektor. Akan tetapi perkalian vektor tidak sama dengan perkalian biasa. Terdapat dua jenis perkalian Vektor, yaitu perkalian titik(dot) vektor dan perkalian silang vektor.

Perkalian titik (dot) vektor

Misal ada dua buah vektor A dan B.  Perkalian titik vektor A dan vektor B adalah besar vektor A dikalikan dengan komponen vektor B pada arah vektor A. Karena proyeksi dari kompenen vektor B pada arah A adalah B cos f, maka juga dikatakan bahwa perkalian titik antara dua vektor A dan Vektor B merupakan besaran skalar yang besarnya sama dengan hasil kali  kedua vektor terhadap cosinus sudut apitnya.
Secara matematis dapat dituliskan

rumus perkalian skalar vektor/perkalian titik vektor jika diketahui sudutnya


Hasil dari perkalian titik vektor adalah besaran skalar dan perkalian titik vektor juga biasa disebut dengan perkalian skalar.
Jika f  diantara 0o-90o maka cos f> 0 sehingga hasilnya positif
Jika f  diantara 90o-180o maka cos f< 0 sehingga hasilnya negatif
Jika f = 90o maka cos f = 0 sehingga hasilnya nol (0).
Cara menghitung perkalian skalar vektor dengan komponen vektor
Perkalian skalar  vektor dapat dihitung secara langsung jika komponen x , y, dan z dari vektor-vektor tersebut diketahui.
Caranya kita nyatakan  vektor A dan vektor B ke dalam bentuk  komponen-komponennya, kemudian dijabarkan dengan vektor satuan.

rumus perkalian skalar vektor jika diketahui komponen-komponennya
Berdasarkan persamaan diatas, didapatkan rumus untuk menentukkan sudut kedua vektor:




rumus mencari sudut dua buah vektor


Perkalian silang vektor

Cara menentukkan perkalian vektor A x B adalah dengan menggambarkan Vektor A dan B pada bidang yang sama, dan pangkal kedua vektor saling berhimpit. Maka vektor hasil perkaliannya tegak lurus bidang tersebut dan besarnya sama dengan ABsinf.

Atau juga bisa dikatakan

Perkalian silang dua buah vektor A x B menghasilkan vektor yang arahnya tegak lurus bidang yang dibentuk oleh dua buah vektor tersebut, dan besarnya sama dengan hasil kali kedua vektor dengan sinus sudut apitnya.
Secara matematis perkalian silang vektor dapat dituliskan:

Rumus perkalian silang vektor
Jika digambarkan maka menjadi seperti berikut
ilustrasi perkalian silang vektor


Pada perkalian silang vektor tidak berlaku sifat komutatif tetapi berlaku sifat anti komutatif:

Untuk menentukkan nilai resultan vektor dan persamaan perkalian vektor, dapat digunakan sifat perkalian silang sesama satuan yaitu perkalian dua vektor satuan yang berbeda akan bernilai positif jika searah jarum jam, sebaliknya akan bernilai negatif jika arahnya berlawanan dengan arah jarum jam.

sifat perkalian  sesama vektor satuan

nilai perkalian  sesama vektor satuan


Jika kedua vektor tersebut sejajar atau atau anti sejajar maka vektor hasilnya adalah 0.


Cara lain yang lebih sederhana untuk menghitung perkalian silang dua vektor A dan B adalah dengan menggunakan metode determinan.
menghitung perkalian silang dua vektor dengan metode determinan

Previous
Next Post »